2 Mekanikk

Mekanikk er den grenen av fysikken som beskriver bevegelser. Innen romrelatert fysikk har vi behov for å forstå bevegelser til raketter og planeter, men også til partikkelbevegelser som opptrer f.eks. i solvind eller molekylbevegelser i atmosfæregassene. Et objekt - om det er stort som en rakett eller liten som et molekyl - har energi, når det beveger seg. Vi skal i dette kapitlet diskutere sammenhenger mellom bevegelse, kraft, arbeid og energi. Dette skal formidle bakgrunnskunnskap innen den klassiske fysikken som kommer til anvendelse i mange av de etterfølgende kapitlene.

Når du har gjennomgått kapitlet skal du ha nådd følgende mål:

I naturvitenskapen brukes det SI-enheter som er basert på 7 grunnmåleenheter slik det er bestemt i det internasjonale system for måleenheter (Système International d'Unités). Alle andre måleenheter i fysikken er sammensatt eller avledet av disse 7 måleenhetene:

Mol og candela trenger vi ikke til emnene i denne fysikkboka.

Noen fysikalske størrelser er fullstendig beskrevet, når måltallet og måleenhet er kjent. Disse størrelser kalles for skalarer. Eksempler på skalare størrelser er masse, tetthet, temperatur, tid.

Andre fysiske størrelser krever til en fullstendig beskrivelse i tillegg opplysningen om retningen. Disse størrelsene kalles for vektorer. Eksempler på vektorstørrelser er fart, akselerasjon og kraft. Når f.eks. to personer drar med samme kraft i et tau, må man ha tilleggsopplysningen om de drar i hver sin retning eller i samme retning for å kunne forstå situasjonen. Når f.eks. en bil kjører med 50 km/h må vi kjenne fartsretningen for å kunne vite hvor den befinner seg etter en time. Når en bil kjører med 50 km/h og så blir påvirket av en akselerasjon på 3 m/s² må vi vite hvilken retning akselerasjonen har i forhold til bevegelsesretningen. Er den med bevegelsesretningen blir bilen raskere, er den mot bevegelsesretningen blir bilen saktere, virker den i en vinkel til fartsretningen vil bilen svinge. Vektorstørrelser skrives med en pil over symbolet, f.eks. for en fartsvektor. Når alle vektorer er parallelle kan vi uttrykke retningen ved hjelp av fortegn. Hvis vi bare regner med tallverdien uten å ta hensyn til retningen skriver vi eller bare v. En tallverdi som alltid regnes som positiv kalles absoluttverdi. At vi skal bruke absoluttverdien til en størrelse viser vi med to vertikale streker. F.eks. er |-5| = |+5| = 5.

Ved grafisk løsning av vektoraddisjon parallellforskyver vi vektorene slik at endepunktet til den ene pilen blir startpunkt til den nye. Vektorsummen er gitt ved vektoren som begynner i startpunktet til den første vektoren og har pilspissen i endepunktet til den siste vektoren. Lengden på pilen angir størrelsen, pilspissen viser retningen til vektoren.

Når vi summerer vektorer, er lengden til resultantvektoren alltid mindre eller lik summen av absoluttverdiene: der , se figur 2.1.

Figur 2.1 Vektoraddisjon.

a) og . Lengden på resultantvektoren er mindre enn summen av lengdene til enkeltvektorene. b) og . Kun når vektorene er parallelle og har samme retning er summen av lengdene til enkeltvektorene lik lengden av resultantvektoren.

Eksempel: Vektoraddisjon.

Figur 2.2 Illustrasjon til eksempeloppgaven over. Både lengden og retningen til resultantvektoren er avhengig av størrelsen og retningen til enkeltvektorene som skal adderes.

Figur 2.3 Vektorer som skal adderes.

Dekomponering av en vektor er det motsatte til vektoraddisjon. Vi finner enkeltvektorer som ved addisjon gir vektoren vi skal dekomponere. Dette har vi spesielt behov for i forbindelse med krefter hvor vi vil finne kraftkomponentene i bestemte retninger.

Eksempel: Dekomponering av vektorer.

Figur 2.4 Dekomponering av en vektor. Drakraften kan dekomponeres i en horisontalkomponent og en vertikalkomponent .

Når vi tilbakelegger 100 km i løpet av 2 timer - uavhengig av om vi stopper underveis - har vi en gjennomsnittsfart på 50 km/h. Vi ville ha brukt like lang tid dersom vi hadde kjørt med konstant fart på 50 km/h. Gjennomsnittsfarten kan vi uttrykke som formel :

(2.1)

: gjennomsnittsfart, D s: forflytning, D t: tidsintervallet

Man bruker den greske bokstaven D (delta) for å uttrykke intervaller eller forskjeller.

I eksemplet har vi brukt måleenheten km/h for er farten. Når vi angir farten med SI-enheter bruker vi m/s.

1 km/h = 1000 m/3600 s = 0,2778 m/s

Eksempel: Gjennomsnittsfart.

Når vi har en gjennomsnittsfart på 50 km/h kan vi godt ha kjørt 100 km/h enkelte steder. Ved fartskontroller måler politiet vanligvis om vi holder oss til fartsgrensen på et bestemt sted. Politiet vil vite farten i det øyeblikket bilen passerer målepunktet. For å få farten så nøyaktig som mulig, må vi gjøre veistubben D s kortere og kortere. Dette gjøres normalt ved å la tiden - D t - være minst mulig. Den nøyaktige farten i det øyeblikket bilen passerer målepunktet kalles momentanfart. I dagligtale bruker vi bare ordet fart, men det er viktig å vite om vi er interessert i gjennomsnittsfart eller farten i et bestemt øyeblikk. Speedometeret på en sykkel eller i en bil måler momentanfarten. Vi kan beregne momentanfarten v, når tidsintervallet D t går mot null. Matematisk uttrykker vi det på følgende måte:

(2.2) (eller )

Fordypning: Momentanfart.

Momentanfarten kan bestemmes f.eks. ved å utnytte dopplereffekten (se kapittel 10).

Hvis vi i laboratoriet vil bestemme momentanfarten, bestemmer vi gjennomsnittsfarten for et lite strekningsintervall. Korte strekninger kan vi måle f.eks. med en skyvelære eller mikrometerskrue. Med hjelp av f.eks. fotoceller som starter og stopper en elektronisk klokke kan vi måle veldig korte tidsintervaller.

Om momentanfarten ikke varierer langs veien, flytter legemet seg med konstant fart. Vi beregner veilengden s til et legeme med konstant fart:

(2.4)

Et diagram som viser forflytning som funksjon av tid kalles et s-t-diagram eller veigraf. I et slikt diagram framkommer farten som stigningen til grafen. Dette gjelder både for konstant fart, gjennomsnittsfart og momentanfart. I figur 2.5 ser vi at gjennomsnittsfarten er gitt ved stigningen til den rette linjen mellom startpunkt A og sluttpunkt D: . På samme måte kan vi regne ut farten på de forskjellige etappene. Mellom A og B er farten konstant 60 km/h, mellom B og C er farten 0, mellom C og D er farten konstant 80 km/h. En bevegelse med konstant fart på 50 km/h gir den samme rette linjen mellom A og D som gjennomsnittsfarten.

Figur 2.5 s-t-diagram som viser forflytningen som funksjon av tiden. Stigningen til grafen mellom to punkter gir gjennomsnittsfarten for strekningsintervallet.

Også figur 2.6 viser et s-t diagram, dvs. en framstilling av forflytning som funksjon av tiden. Men i dette eksemplet endrer farten seg kontinuerlig. Stigningen til linjen mellom punkt 1 og 2 er lik gjennomsnittsfarten i tidsrommet D t. Om vi nå lar D t ® 0, vil punktet 2 stadig komme nærmere punkt 1. Linjen mellom 1 og 2 blir da en tangent i punktet 1. Derfor er farten ved et vilkårlig tidspunktet t₁ gitt ved tangenten i punktet (t₁, s₁) på kurven i figur 2.6. Vi kan si generelt: Når tidsintervallet går mot null er momentanfarten gitt ved stigningen til tangenten i målepunktet.

Figur 2.6 s-t-diagram med grafisk definisjon av momentanfart. Når tidsintervallet går mot null er momentanfarten gitt ved stigningen til tangenten i målepunktet. Når D t ® 0 er v = ds/dt = s’ (t).

Et diagram som viser farten som funksjon av tiden kalles et v-t-diagram eller en fartsgraf. Figur 2.7 illustrerer at forflytningen er gitt som areal mellom grafen og førsteaksen. Vi ser i figuren at arealet mellom grafen og førsteaksen kan beregnes som v ^. D t. Dette er lik den tilbakelagte strekningen D s. Vi kan beregne strekningen ved å bruke arealet med hjelp av gjennomsnittsfarten: Þ D s = 50 km/h ^. 2 h = 100 km. Eller vi kan beregne summen av arealene i avsnittene med ulik fart. og Þ 60 km/h ^. 1 h + 0 ^. ½ h + 80 km/h ^. ½ h = 100 km.

Figur 2.7 v-t-diagram som viser farten som funksjon av tiden for den samme bevegelsen som framstilt i figur 2.5 . Arealet mellom grafen og førsteaksen kan beregnes som produkt av fart og tid i de enkelte intervallene. Dette er lik den tilbakelagte strekningen .

Også for kontinuerlig varierende fart kan vi beregne den tilbakelagte strekningen som areal mellom v-t-grafen og førsteaksen. Dette er illustrert i figur 2.8. Dette gjelder både for konstant fart og for varierende fart. Som tilnærming kan vi beregne arealet under grafen som sum av rektangelarealer. I hver tidsintervall anser vi farten som konstant. For store tidsintervaller er dette kun en grov tilnærming. Jo mindre tidsintervaller vi velger desto bedre blir tilnærmingen. Den tilbakelagte veien i hvert tidsintervall er gitt ved arealet og kan uttrykkes som D s₁ = v₁ ^. D t₁, D s₂ = v₂ ^. D t₂,…, D s_n = v_n ^. D t_n. Den totale tilbakelagte veien s er der summen av enkeltintervallene D s. s = D s₁ + D s₂ + …+ D s_n. Først når vi lar tidsintervallene går mot null får vi et nøyaktig resultat: . Her får vi overgangen fra summe til integral der . Dette vil du lære om mer om i matematikk.

Figur 2.8 v-t-diagram for bevegelse med varierende fart. Arealet mellom grafen og førsteaksen tilsvarer den tilbakelagte strekningen: . Vi kan beregne arealet som sum av rektangelarealer med D t ® 0.

Når en bil har en høy akselerasjon betyr det at den bruker kort tid på en viss fartsøkning. Generelt kan vi si at akselerasjon er fartsendring per tidsenhet.

(2.5)

: gjennomsnittsakselerasjon, v₁: fart i punkt 1, v₂: fart i punkt 2, D t: tidsintervall

Måleenheten for akselerasjon er m/s².

En bil som trenger 6 s for å øke farten fra 0 til 30 m/s (108 km/h) har en gjennomsnittsakselerasjon på 5 m/s². Hvis denne bilen trenger 6 s for å stoppe fra en fart på 30 m/s har den en akselerasjon på -5m/s². En negativ akselerasjon betyr i dette tilfelle en nedbremsing eller retardasjon. Akselerasjon er altså en vektorstørrelse. Fordi vi har forutsatt rettlinjet bevegelse kan vi uttrykke retningen med hjelp av fortegn.

Et eksempel på konstant akselerasjon er fritt fall. Når vi slipper en gjenstand vil den få en akselerasjon på 9,81 m/s² ved jordoverflaten, når vi kan se bort fra luftmotstand. Også når vi kaster en gjenstand i luften vil den være påvirket av tyngdeakselerasjon. Det fører til at den blir saktere på vei oppover, fordi startfarten og tyngdeakselerasjonen har motsatt retning. Når den er på vei nedover øker farten. Tyngdeakselerasjonen og farten har da den samme retningen. Fig. 2.9 viser et v-t-diagram for fritt fall. Mer om fritt fall står i avsnitt 2.7.8.

Figur 2.9 v-t-diagram for en gjenstand som kastes rett opp i luften med startfarten 5 m/s. Grafen er uavhengig av massen til gjenstanden. Det er valgt positiv retning oppover. Akselerasjonen er konstant, den er lik tyngdeakselerasjonen.

Eksempel: Gjennomsnittsakselerasjon.

Akselerasjonen kan endre seg. Akselerasjonen i et bestemt tidspunkt kalles momentanakselerasjon. Helt analogt bestemmelsen av momentanfart må vi også ved bestemmelsen av momentanakselerasjonen velge et så lite tidsintervall som mulig. Det betyr at D t går mot null.

(2.6) (eller )

Fordypning: Momentanakselerasjon.

Akselerasjonen er gitt ved stigningen til grafen i et v-t-diagram. I figur 2.10. kan vi se at stigningen til linjen mellom punkt 1 og 2 er lik gjennomsnittsakselerasjonen i tidsrommet D t. Om vi nå lar D t ® 0, vil punktet 2 stadig komme nærmere punkt 1. Linjen mellom 1 og 2 blir da en tangent i punktet 1. Derfor er akselerasjonen ved et vilkårlig tidspunktet t₁ gitt ved tangenten i punktet (t₁, v₁) på kurven i figur 2.10. Vi kan si generelt: Når tidsintervallet går mot null er momentanakselerasjonen gitt ved stigningen til tangenten i målepunktet.

Figur 2.10 v-t-diagram med grafisk definisjon av akselerasjon. Når tidsintervallet går mot null er momentanaskelerasjonen gitt ved stigningen til tangenten i målepunktet.

Når vi skal gjennomføre beregninger for bevegelse med konstant akselerasjon er følgende fire likninger meget nyttige. Utledningen står som fordypningsstoff lengre nede i dette avsnittet.

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Eksempel: Konstant akselerasjon og konstant fart.

I avsnittet "Forsøk/praktiske øvelser" mot slutten av dette kapitelet, er det beskrevet forsøk til bestemmelse av tyngdeakselerasjonen i klasserommet.

Fordypning: Utledning av bevegelseslikningene for konstant akselerasjon.

Figur 2.11 Hjelpefigurer til Fordypning: Utledning av bevegelseslikningene for konstant akselerasjon.

For å forklare hva krefter er ser man på deres virkning og deres egenskaper.

Hvilke krefter virker på et objekt i ro? Når vi holder en stein i hånda kjenner vi at vi må bruke en kraft som er rettet oppover. Denne kraften er like stor som tyngdekraften til steinen som virker nedover. Dermed er vektorsummen av kreftene på steinen null. Dette skriver vi

Figur 2.12 Kreftene på et objekt i ro.

Hvilke krefter virker på et objekt som beveger seg med konstant fart? Vi antar at vi drar en slede med konstant fart. Fortsatt vil tyngdekraften virke på sleden. Fra bakken vil det virke en kraft oppover som er like stor som tyngdekraften. Hvis isen har liten friksjon vil vi trenge kun en liten kraft på sleden til å opprettholde farten. Kraften øker med friksjonen. Den krafter vi bruker på sleden vil dermed kompensere for friksjon. Summen av kreftene vil være null, figur 2.13b. Hvis isen derimot var friksjonsfri ville vi ikke trenge noen kraft til å opprettholde farten, når vi først har satt sleden i bevegelse. Sleden ville fortsette med samme fart. Også her er summen av kreftene på sleden lik null, figur 2.13a. I figur 2.13c ser vi kreftene på en slede som beveger seg med konstant fart der drakraften har en vinkel til underlaget. Her må vi uttrykke drakraften som summen av en kraftkomponent som er parallell med bakken og en komponent som er normal til bakken. Friksjonen vil være like stor, men motsatt rettet til parallellkomponenten. Vi ser at dersom drakraften har en vertikal komponent oppover er normalkraften mindre enn tyngdekraften. Ellers ville summen av kreftene på sleden ikke være null.

Figur 2.13 Kreftene på en slede som er i ro eller konstant fart. I alle tilfellene er summen av kreftene på sleden lik null. a): Kreftene på en slede i ro eller med konstant fart på friksjonsfri underlag. b) Kreftene på en slede som dras med konstant fart. c) Kreftene på en slede med konstant fart der drakraften har en vinkel til underlaget. Her er normalkraften mindre enn tyngdekraften. .

a): Kreftene på en slede i ro eller med konstant fart på friksjonsfri underlag.

b) Kreftene på en slede som dras med konstant fart.

c) Kreftene på en slede med konstant fart der drakraften har en vinkel til underlaget. Her er normalkraften mindre enn tyngdekraften. .

Vi kan nå formulere Newtons 1. lov:

Hvis summen av kreftene som virker på et objekt er null vil objektet være i ro eller bevege seg rettlinjet med konstant fart.

(2.12)

Her på jorden opplever vi at vi må bruke ofte ganske mye kraft for å opprettholde bevegelse. Vi må tråkke i pedalene på en sykkel, selv om vi sykler med konstant fart en vindstille dag i flatt terreng. En bil forbruker drivstoff også når den kjører med konstant fart. Årsaken er friksjon og luftmotstand. I verdensrommet finnes det ikke luftmotstand. Partikkeltettheten utenfor atmosfæren er for lav til det. Det betyr at et romfartøy vil beholde fartskomponenten det engang har oppnådd. Blir de ikke påvirket av noen krefter vil de fortsette rettlinjet med konstant fart.

Newtons 1. lov betegnes også som treghetslov fordi objekter motsetter seg endring av bevegelse. Dette opplever vi f.eks. når vi kjører bil og bilen bråbremser. Bilbeltet hindrer oss i å fortsette med samme fart framover. Når vi svinger til venstre blir vi presset mot høyre fordi kroppen vil fortsette rett fram. Når vi sitter i et fly som er i luften og lukker øyne er det ikke vanskelig å forestille seg at man fortsatt er på bakken. Vi kjenner ikke farten så lenge den ikke endrer seg. Kaster vi en ball rett opp i luften, når vi er på flyet vil den lande i igjen i hendene våre - uansett om flyet står på bakken eller beveger seg rettlinjet med konstant fart. Ballen og flyet har den samme farten.

Eksempel: Corioliskraft.

At farten vi roterer med er forskjellig om vi er på en av polene, hvor vi er i ro, eller ved ekvator hvor vi beveger oss med nesten 1700 km/h kjenner vi ikke, fordi atmosfæren rundt oss har den samme farten som vi. Men man utnytter denne ekstra farten, når man skyter opp raketter fra steder nær ekvator. Man velger en oppskytning i østlig retning. På denne måten trenger man mindre brensel til f.eks. å plassere en satellitt i bane.

Når vi står i en heis som beveger seg med konstant fart mellom etasjene kan vi ikke kjenne om vi beveger oss oppover eller nedover. Men når heisen starter og stopper kan vi avgjøre bevegelsesretningen. Begynner heisen å kjøre oppover føler vi oss tyngre, fordi vi blir påvirket av en ekstra kraft. Stopper heisen sin ferd oppover føler vi oss lettere. I begge tilfellene endrer heisen - og dermed også vi - farten. Og det betyr at bevegelsen er akselerert Summen av kreftene på oss er ikke lengre null. Sammenhengen mellom en kraft, masse og akselerasjon er gitt ved Newtons 2. lov:

Hvis summen av kreftene på et objekt ikke er null, vil objektet være akselerert. For å endre bevegelsen til et objekt med en akselerasjon a trenges det en kraft som er lik produktet av masse og akselerasjon. Kraftsummen og akselerasjonen har samme retning.

(2.13)

Måleenheten for kraft er newton (N). Av likning 2.13 kan vi se at .

En bil som kjører med konstant fart i en rundkjøring endrer retning hele tiden. Det betyr at summen av kreftene på bilen ikke er null. Ellers ville bilen ifølge Newtons 1.lov bevege seg rett fram. Dermed må bilen etter Newtons 2. lov være akselerert. Hvordan det er mulig at et objekt med konstant fart er akselerert kommer vi tilbake til i avsnitt 2.7.4 i forbindelse med satellittbevegelser.

Eksempel: G-krefter.

To objekter med samme fart, men ulik masse har forskjellig bevegelsesmengde. Bevegelsesmengden p er produktet av massen m og farten v.

(2.14)

Endringen av bevegelsesmengden ved endret fart er dermed

(2.15)

Fra likning 2.5 vet vi at . Setter vi dette inn i formel 2.13 får vi at

Dette leder oss til impulsloven som er en alternativ måte å uttrykke Newtons 2. lov på:

Produktet av resultantkraften og tiden er lik endringen i bevegelsesmengden.

(2.16)

å F: summen av kreftene på et objekt, t: tidsintervallet hvor kraften virker, v₀ : startfart, v: sluttfart

Impulsloven viser at hvis vi lar en mindre kraft virke over lengre tid oppnår vi den samme farten som ved en større kraft som virker over kort tid.

Eksempel: Akselerasjon av en rakett.

I eksemplet har vi sett at vi trenger mindre kraft ved å bruke mer tid på en fartsøkning. Det samme gjelder også ved nedbremsing. En stavhopper som faller fra 5 m høyde på en myk matte vil ikke skade seg fordi matten gjør at han bruker mer tid fra sin toppfart til å stoppe. Dermed er kraften på ham mindre. Biler har en kollisjonssone i fronten som øker nedbremsingstiden ved en front-mot-front kollisjon. Dermed reduseres kraften i støtet.

Slipper vi 2 lodd av ulik masse samtidig fra samme høyde vil de lande samtidig, når vi kan se bort fra luftmotstand. Begge loddene er påvirket av den samme akselerasjonen, nemlig jordens tyngdeakselerasjon g med 9,81 m/s². Når vi bruker Newtons 2. lov på massen får vi deres tyngde G som resultat.

(2.17)

G: tyngde(kraft), m: masse, g: tyngdeakselerasjon

Alle legemer som befinner seg i gravitasjonsfeltet (= tyngdefeltet til et annet legeme) blir påvirket av en kraft som kalles tyngde eller gravitasjonskraft.

Astronauten David Scott viste eksperimentet på månen til fjernsynsseere. Han slapp en hammer og ei fjær samtidig. Begge falt like fort og landet derfor samtidig, figur 2.14.

Figur 2.14 Bakgrunnsbilde er fra månelandingen i 1971. Astronauten David Scott slipper en hammer og en fjær samtidig. Billedkvaliteten er dårlig. Animasjonen lagt oppå det nedre bildet viser at begge gjenstandene falt like fort.

Eksempel: Tyngdekraft.

Som vi har sett i avsnitt 2.2 er masse en grunnstørrelse i SI-systemet som måles i kg. For atomer og molekyler angir vi massen i atommasseenheter (u); 1 u = 1,66 ^. 10^-27 kg. Masse er et uttrykk for hvor mye materie et legeme inneholder. Denne størrelsen er uavhengig av hvor vi befinner oss. I dagligtalen blander vi ofte masse og tyngde. Vi sier f.eks. at vi veier 70 kg. Hvis vi brukte den samme badevekten på månen ville den vise kun 11,6 kg. Men vår masse har ikke forandret seg. Den er fortsatt 70 kg. Det badevekten egentlig måler er tyngden. Kraften vi utøver på badevekten er avhengig av tyngdeakselerasjonen, som på månen bare er en sjettedel av jordens tyngdeakselerasjon. Siden det er et fast forholdstall mellom masse og tyngde, når vi befinner oss på jorden, er det ikke noe problem å bestemme masse med en badevekt som egentlig er basert på utslag på grunn av tyngdekraften. Hittil har det ikke vært så mange som har tatt med seg badevekten til månen.

Når astronauter svever vektløs i romstasjonen er massen deres fortsatt den samme som på jorden, selv om en badevekt ville vise 0 kg. Vil vi bestemme massen, når vi befinner oss i vektløshet må vi utnytte en annen masseegenskap enn tyngde. Alle masser er trege. De "motsetter seg" endring av sin bevegelse. Jo større massen er desto vanskeligere er det å endre bevegelsen. Dette gir en mulighet for å bestemme massen også i vektløshet. Vil man f.eks. bestemme massen til en astronaut kan man feste ham til en stol som er forbundet med ei fjær. Så setter man stolen i svingninger. Svingetiden er avhengig av massen. Jo lengre svingetid desto større er massen.

Betegnelsen vektløshet er misvisende fordi man lett kan tro at tyngdekraften er null ved vektløshet. Det er ikke tilfelle. Vi skal diskutere dette videre i avsnitt 2.7.8.

Figur 2.15 Massemåling ved vektløshet. Stolen astronauten sitter i er utstyrt med fjær. Svingetiden er avhengig av massen som svinger. Foto: NASA.

Mens Newtons 1. og 2. lov handler om krefter på ett legeme, handler Newtons 3. lov om krefter mellom to legemer, dvs. om vekselvirkninger mellom legemer. Når vi hekter sammen to dynamometer (fjærvekter) og drar i begge endene blir utslaget likt på begge - uansett om vi drar svakt eller sterkt, figur 2.16. Når en stein presser med 100 N på sitt underlag må underlaget virke tilbake med samme kraft. Når vi sparker en fotball virker en kraft fra foten på ballen, men vi kjenner på foten at det virker en kraft fra ballen på den. Vi kan ikke berøre noe uten selv å bli berørt. Men ikke alle krefter forutsetter berøring. Fjernkrefter er krefter som virker uten kontakt mellom objektene. Eksempler på fjernkrefter er tyngdekraften, elektriske krefter og magnetiske krefter. Krefter med berøring mellom objektene kalles nærkrefter eller kontaktkrefter, figur 2.17.

Figur 2.16 Kraft og motkraft mellom to dynamometer som er hektet sammen. De måler kraft i motsatte retninger, og utslaget viser at kraft og motkraft er like store, dvs. samme utslag på vektenes skalaer.

Figur 2.17 Alle slags krefter – både nærkrefter og fjernkrefter – har motkrefter. a) Hammeren virker på spikeren med en like stor kraft som spikeren på hammeren. b) Jorden har en like stor tiltrekningskraft på månen som månen utøver på jorden.

Newtons tredje lov kan formuleres slikt: Når et legeme A virker med en kraft F_A på et legeme B, vil B virke tilbake på A med en like stor motsatt rettet kraft F_B. Kraft og motkraft virker alltid på hvert sitt legeme.

(2.18)

Hvis vi brukte to store dynamometer istedenfor et tau ved tautrekking ville de vise samme utslag hele tiden. Hvordan kan vi da si at det ene laget er sterkere enn det andre, når begge trekker med samme kraft? Her må vi huske at det er flere krefter som hvert lag bruker enn kreftene på tauet. Laget som er sterkest vil utøve en større kraft mot underlaget og dermed vil også kraften fra underlaget på dem være større. Betydningen av kraften mot underlaget blir tydelig når vi tenker oss at det ene laget står på glatt is. Medlemmene i laget kan være nokså sterke. De får ikke brukt sin kraft, når friksjonen mangler.

Hva skjer når vi blåser opp en luftballong og slipper ballongen uten å knyte igjen? Den vil bevege seg ujevnt gjennom rommet i en retning vekk fra åpningen. Når ballongen trekker seg sammen utøver den en kraft på luften som den skyver ut. Luften virker med en like stor motsatt rettet kraft på ballongen.

Hvordan kan en rakett akselerere i tomt rom når det ikke er noe å skyve fra ? Det raketten skyver fra, er gassene som produseres når drivstoffet forbrenner. Forbrenningsgass presses med stor fart gjennom dysene i rakettmotoren. Dette gir kraften fra rakettmotoren på gassene, figur 2.18. Etter Newtons tredje lov skyver da gassene på raketten med en like stor kraft framover. Det er denne motkraften fra forbrenningsgassene som akselerer raketten. Summen av kreftene på raketten er da ikke null. Raketten trenger ikke luft eller noe annet å skyve fra. Luftmotstanden vil føre til at rakettakselerasjonen blir mindre enn ute i verdensrommet.

Figur 2.18 Rakettframdrift kan forklares med Newtons 3. lov. Kraften fra rakettmotorene på forbrenningsgassene er like stor som kraften fra gassene på raketten. Kreftene har motsatt retning. Romferga Endeavour kort tid etter starten. Foto: NASA

Newtons 3. lov betyr også at gravitasjonskraften som jorden utøver på et eple er like stor som tiltrekningskraften fra eplet til jorden. Fordi massen til jorden er så veldig mye større faller eplet til jorden og ikke jorden til eplet.

En astronaut som arbeider på utsiden av et romfartøy i bane rundt jorda i vektløshet er sikret med en line. Den skal ikke forhindre at astronauten faller ned fordi det er det ingen fare for. Men astronauten ville med et fraspark utøve en kraft på romferga. Ifølge Newtons 3. lov vil romferga virke tilbake på astronauten med en like stor kraft i motsatt retning. Den korte tiden under kontakt når kraften virker, blir astronauten akselerert (Newtons 2. lov). Deretter ville han bevege seg med konstant fart vekk fra romferga (Newtons 1. lov). Linen skal forhindre det.

Figur 2.19 En astronaut som jobber på utsiden av Gemini 4 er sikret med en line.

Hver gjenstand har energi. Det kan være i form av indre energi, kinetisk energi, potensiell energi osv. (se avsnitt 2.6.3) Når gjenstanden avgir eller får tilført energi skjer det en energioverføring. Energioverføring kan skje som arbeid eller som varme. Når vi løfter en stein utfører vi et arbeid, hvor vi overfører energi fra oss til steinen. Steinen får dermed økt sin energi. Når vi setter en kjele med kaldt vann på en varm plate vil platen overføre energi som varme til det kalde vannet ved varmeledning. Vannets energi øker. Når solen stråler på oss kjenner vi at vi blir varme. Sola har overført energi til oss i form av stråling. Varme er energioverføring fra et legeme med høyere temperatur til et legeme med lavere temperatur. Den kan skje ved ledning eller stråling. Vi skal i det følgende kun se nærmere på energioverføringen som skjer ved arbeid. Etterpå skal vi ta for oss forskjellige energiformer.

Bruken av ordet arbeid i fysikken er ikke helt sammenfallende med bruken i dagligtale. For at vi kan snakke om arbeid i fysikken må det finnes en kraft som fører til en forflytning. Etter disse kravene er ikke tankearbeid noe arbeid. Når vi bruker mye kraft på å prøve å løfte en kasse, men ikke lykkes, har vi heller ikke utført noe arbeid, fordi kassen ikke flyttet seg.

Figur 2.20 Kraftkomponenten F_s bevegelsesretningen. Figuren viser at den kan beregnes som F_s = F ^. cos a .. Dette har vi allerede sett i figur 2.4.

Vi kan definere arbeid på følgende måte:

Arbeidet W er produktet av kraften F_s i bevegelsesretning og forflytningen s.

(2.19)

Måleenheten for arbeid er joule (J), der

Eksempel: Arbeid.

Figur 2.21 Når vinkelen mellom kraften F og forflytningen s er 90° utføres det ikke arbeid.

Når vi løfter en gjenstand utfører vi et arbeid. Vi bruker en kraft som er like stor som tyngde G til gjenstanden. Forflytningen s kan vi i dette tilfelle betegne som høyden h. Formelen for arbeid blir her:

(2.20)

Eksempel: Arbeid mot tyngdekraften.

Figur 2.22 Når vinkelen mellom kraften og forflytningsretningen er null er arbeidet lik produktet av kraften og forflytningen. Her er W = F × s = G ^. h = m ^. g ^. h

Vi jobber effektivt, når vi utfører et arbeid på kort tid. Dette fører oss til følgende definisjon av effekt som vi symboliserer med P (fra engelsk power):

Effekt er arbeid dividert på tid

(2.21)

der P: effekt, W: arbeid, t: tid

Måleenheten for effekt er watt (W), der

En gammel måleenhet som ikke tilhører SI-systemet er hestekrefter (hk): 1 hk = 735,5 W.

Eksempel: Effekt.

Vi kan skille mellom forskjellige energiformer:

Alle disse energiformene kan føres tilbake til hovedformene for energi, nemlig potensiell og kinetisk energi. I det følgende skal vi kun se nærmere på disse to energiformene og på indre energi.

Figur 2.23 Ny figur.

Mekanisk energi er fellesbetegnelsen for kinetisk og potensiell energi.

En gjenstand i bevegelse har kinetisk energi. Når vi gir en gjenstand bevegelsesenergi må vi utføre et arbeid. Dette arbeidet kan vi beregne med hjelp av formler vi kjenner fra før. Dette fører oss til formelen for kinetisk energi.

Fordypning: Mekanisk energi.

Vi kan konkludere: En gjenstand med massen m og farten v har den kinetiske energien E_k:

(2.22)

Måleenheten i SI-systemet for både arbeid og energi er joule (J). I senere kapitler (f.eks. kap 8 om nordlys) skal vi også bruke måleenheten elektronvolt (eV) for energi. Denne måleenheten brukes ofte for å angi energi til elektrisk ladde partikler. Elektronvolt er ikke er en SI-enhet. 1 eV = 1,60 ^. 10^-19 J

En annen måleenhet for energi som er vanlig å bruke for elektrisk energi er kilowattimer (kWh). 1 kWh = 3,6 ^. 10⁶ W.

Når vi løfter en gjenstand utfører vi et arbeid som øker gjenstandens potensielle energi tilsvarende. Derfor er uttrykket for potensiell energi i tyngdefeltet gitt ved likning

(2.23)

E_p: potensiell energi, m: masse, h: høyden over et valgt nullnivå, g: tyngdeakselerasjon (9,81 m/s² på jorden)

Eksempel: Kinetisk og potensiell energi.

Vi må definere et nullnivå for potensiell energi. Velger vi nullnivået høyere enn legemets posisjon får E_p en negativ verdi. Uavhengig av vårt valg av nullnivået vil den potensielle energien øke med høyden. I romfysikken er det hensiktsmessig å definere nullnivået for potensiell energi uendelig langt borte fra jordoverflaten. Vi skal komme tilbake til det i avsnitt 2.7.5.

Likning 2.13 og dermed 2.23 kan vi kun bruke når vi kan anse g som konstant. Dette er tilfelle, når vi befinner oss nær jordoverflaten. Ved større høyder må vi ta hensyn til at tyngdeakselerasjonen avtar. Dette er ivaretatt i Newtons gravitasjonslov (avsnitt 2.7.3).

Partiklene i et stoff er aldri ro. De har tilfeldige egenbevegelser. I faste stoffer kan atomene og molekylene vibrere, i væsker og spesielt i gasser kan partiklene bevege seg fritt. Et uttrykk for den indre kinetiske energien til et stoff er temperaturen. Økt partikkelbevegelse betyr økt indre kinetisk energi. All bevegelse stopper kun ved det absolutte nullpunkt ved -273,15 ºC som er nullpunktet for den absolutte temperaturen med måleenheten kelvin (K).

Når vi plusser 273,15 til Celsius-temperaturen får vi den absolutte temperaturen målt i kelvin.

(2.24)

T: absolutt temperatur, t: Celsius-temperatur

Også for den indre kinetiske energien kan vi bruke likning 2.22 E_k = ½ m ^. v². Men det er noen viktige forskjeller. Når en bil kjører har hele bilen den samme farten og selvfølgelig også den samme fartsretningen, men i gasser og væsker har partikler forskjellig fart og deres bevegelsesretning er tilfeldig. Når partiklene støter sammen endrer de retning og overfører energi. Bruker vi likning 2.22 på væsker og gasser står m for molekylmassen , v for den gjennomsnittlige molekylfarten og E_k for middelverdien av molekylenes kinetiske energi.

Ved den samme temperaturen har alle stoffer den samme gjennomsnittlige indre kinetiske energi. Det betyr at lette molekyler har høyere fart enn tunge molekyler. I kapittel 2.9.3 er det beskrevet et forsøk som viser dette.

Fordypning: Indre energi.

Eksempel: Gjennomsnittsfart til molekyler.

Vi betrakter et friksjonsfri planpendel. Når vi setter pendelen i bevegelse svinger det like høyt på begge sider. Når kulen snur på det høyeste punktet er kulen et øyeblikk i ro. Her har kulen kun potensiell energi. Vi velger nullnivået for den potensielle energien i det laveste punkt i pendelbevegelsen. Det betyr at pendelen her har kun kinetisk energi. På alle andre punkter har kulen en kombinasjon av potensiell og kinetisk energi. I alle posisjoner er summen av den potensielle og den kinetiske energien konstant. Det betyr at totalenergien er konstant, figur 2.23.

Når vi observerer et virkelig pendel over litt lengre tid ser vi at pendelutslagene avtar, og at pendelen vil stoppe til slutt. Årsaken er at det alltid vil være noe friksjon tilstede. Den mekaniske energien går over til indre energi. Overgangen fra mekanisk energi til indre energi blir enda tydeligere, når vi bråbremser en sykkel eller bil fra høy fart. Bremsene blir glovarme. Denne temperaturøkningen forteller oss at den indre kinetiske energien har økt. Energien er altså ikke borte, den har bare gått over til en annen form. Totalenergien er uforandret.

Vi formulerer den første energiloven:

Energi kan verken oppstå eller forsvinne, den går bare over i andre former. Den totale energien er konstant.

Figur 2.24 Energiformene i en pendelbevegelse. Summen av den potensielle og den kinetiske energien er konstant.

En simulering av pendelbevegelse, hvor en kan endre enkelte parameter finnes på:
http://www.phy.ntnu.edu.tw/java/Pendulum/Pendulum.html

Som vi vet av erfaring blir pendelutslagene mindre etter hvert, og pendelen stopper opp til slutt. Selv om energien ikke er borte, vil vi aldri oppleve at energien som har blitt til indre energi føres tilbake til pendelen, slik at det begynner å svinge igjen. Vi vet også at vi ikke kan utnytte den indre energien i bremsene til å gi oss tilbake farten vi hadde før vi bremset. Teknisk utvikling vil gjøre det mulig å tilbakeføre en del av den "tapte" energien til å utføre et arbeid, men aldri hele energien. Når mekanisk energi går over til indre energi går energikvalitet tapt. Dette er innholdet i den andre energiloven:

Energikvaliteten avtar ved alle energioverganger.

Energi har høy kvalitet, når den er lett å utnytte til å utføre et arbeid. Potensiell energi og kinetisk energi har høy kvalitet. Men ved energioverganger vil alltid noe energi gå over til indre energi. Indre energi har lav kvalitet. Det er ikke mulig å omgjøre all indre energi til arbeid.

Fordypning: Den andre energiloven.

Ved bevegelse overføres det alltid energi til omgivelsene. Derfor egner kinetisk energi seg dårlig til lagring av energi. Potensiell energi er en bedre egnet energiform til lagring av energi. Når vi demmer opp vann i et vannmagasin over en foss har vi lagret energi som potensiell energi.

Figur 2.25 Waterfall, M.C. Escher, 1961. Gjelder energilovene i Eschers verden?

Kilde: www.worldofescher.com

Studer Eschers tegning. Er det mulig å bygge et kretsløp for vannet etter denne tegningen? Vi ser fort at kunstneren har brukt noen perspektiviske triks som gjør det umulig å konstruere en slik bygning. Konstruksjonen ser ut som det perfekte kretsløpet, der potensiell energi på toppen av fossen går over til kinetisk energi som driver et hjul og så øker igjen den potensielle energien til vannet, slik at kretsløpet sluttes. Men en evighetsmaskin som til og med produserer energi er ikke mulig. Den bryter både med den første og den andre energiloven.

Eksempel: Energibevaring.

En følge av Newtons 1. lov er at summen av kreftene på et legeme med krumlinjet bevegelse ikke kan være null. Og det betyr i følge Newtons 2. lov at kraftsummen på legemet forårsaker en akselerasjon. Når vi kaster en ball skrått oppover følger den en parabelbane. Farten i horisontal retning er konstant fordi den horisontale kraftkomponenten er null etter at ballen har forlatt hånda. Men ballen blir hele tiden påvirket av tyngdekraften som akselererer ballen mot jorden. Når ballen er på vei oppover virker tyngdekraften bremsende.

Sirkelbevegelse er et spesialtilfelle av krumlinjet bevegelse. Når vi holder en kule i en hyssing og snurrer kulen rundt en finger kjenner vi at vi må bruke en kraft som holder kulen i sirkelbanen. Vi kjenner at kraften blir større når vi øker massen og/eller når vi øker farten. Når vi kjører karusell må vi holde oss fast for ikke å falle av. I sentrifugen til en vaskemaskin presses tøyet mot trommelveggen. I alle tilfellene må det virke en kraft som er rettet inn mot dreieaksen som gjør at legemer ikke forlater sirkelbanen. Når f.eks. planeter og satellitter beveger seg rundt et sentrallegeme må det også finnes en kraft som holder dem i bane.

Figur 2.26 Vertikalt kast og skrått kast med den samme startfarten i vertikal retning. Ballen vises med jevne tidsintervaller. Ballene befinner seg i samme høyde på samme tidspunkt. Etter at ballen har forlatt hånda virker det ingen kraft i horisontalretning. Derfor endrer horisontalkomponenten seg ikke i kastet. For det vertikale kastet er det null for det horisontale kastet er det D s_x = konstant.

Himmelrommet på dagen og kanskje spesielt den klare, mørke nattehimmelen har tydelig opptatt våre forfedre gjennom årtusener. Det er noe spesielt med det å se måner, stjerner og planeter. Særlig fascinerende er stjerneskudd og kometer. Månens og planetenes bevegelser og faser setter fantasien i sving.

Også når det gjelder kosmologien, dvs. vitenskapen om universet, begynner historien med de gamle grekerne. For ca. 2500 år siden begynte de med litt mer systematiske observasjoner. I den vesteuropeiske kulturen er det Aristoteles (384-322 f. kr.) som vanligvis tillegges æren for synet på kosmos som dominerte gjennom middelalderen. I følge Aristoteles sattes "Himmelen" i perfekt og evig bevegelse i skapelsesøyeblikket. Solen, månen, planetene og stjernene var festet til åtte krystallinske sfærer som dreide rundt jorden, det sentrale legemet i universet. Fordi planetene ble observert som lysprikker som beveget seg fra stjernebilde til stjernebilde, ble de av antikkens astronomer kalt vandrestjerner. Jorden var verdens midtpunkt.

De gamle grekerne trodde at naturen skyr tomrom - horror vacui. Hele universet var fylt av en materie som verken kunne ødelegges eller forandres. Denne ble kalt eter. I tillegg fantes det fire andre elementer, nemlig jord, vann, luft og ild. I et aristotelisk verdensbildet var alle bevegelser i himmelhvelvingen sirkulære.

Den greske astronomen Claudius Ptolemaios (80-120 e. kr.), som levde i Alexandria, gjorde små justeringer av Aristoteles' geosentriske verdensbilde - spesielt hva angikk planetenes bevegelse. Disse er beskrevet i hans berømte verk Almagost, hvor han også beregnet avstanden til månen med relativ stor nøyaktighet.

Verdensbildet var nøye forbundet med Bibelen og det skulle være perfekt. Derfor måtte eventuelle bevegelser være sirkelformet. Aristoteles og Ptolemaios verdensbilde dominerte helt fram til Kopernikus publiserte sitt berømte verk "De Revolutionibus Orbium Coelestium" i 1543. Middelalderens univers tilhørte ikke bare naturvitenskapen og filosofiens verden, men omfattet også mennesket og dets gudeverden. Den katolske kirkens teologi var forbundet med gresk kosmologi.

Den polske presten og vitenskapsmannen Nikolaus Kopernikus (1473-1543) var en dyktig astronom. Han fikk i 1514 i oppdrag av paven å revidere kalenderen. Han måtte da bestemme himmellegemenes forbindelse og deres bevegelse. Det var under dette arbeidet, han oppdaget det heliosentriske verdenssystemet. Han hadde lenge vært i tvil om riktigheten av den ptolemeiske modellen. Kopernikus innordnet jorden i planetens rekke og konkluderte at alle planetene kretser om solen. Solen var midtpunktet, ikke jorden. Jorden beveget seg med en hastighet på ca. 30 km/s i en bane rundt solen.

Dette verdensbildet fjernet menneskene fra sentrum i verden. Det var begynnelsen til slutten på den perfekte skapelsen. Gjennom sitt hovedverk "De Revolutionibus Orbium Coelestium" regnes han ofte som grunnleggeren av den nye astronomien. Kopernikus gjorde imidlertid en stor feil ved å fastholde at alle bevegelsene til himmellegemene var sirkler. På mange måter ble derfor Kopernikus’ verdensbilde nesten vanskeligere å tilpasse observasjonene enn det skolastiske systemet, dvs. den filosofiske retningen i middelalderen som prøvde å forene gresk tenkning med Bibelens ord.

Etter at Kopernikus hadde revidert kalenderen, gikk den nye kosmologien med solen som sentrum sin seiersgang. I 1576 vek forestillingen om et "lite, koselig univers" plassen for et større system, da Thomas Digges (1543-1595) offentliggjorde det kopernikanske systemet sammen med en ytre krets av stjerner som strakte seg ut i det uendelige.

Den tyske astronomen Johann Kepler (1571-1630) studerte Nicolaus Kopernikus’ ideer og hadde nye tanker om kosmos. I tillegg fikk han overtatt Tycho Brahes (1546-1600) store observasjonsmateriale. De siste to årene av Brahes liv arbeidet de på samme sted i Praha. Basert på dette, la han grunnlaget for den moderne himmelmekanikken gjennom formuleringen av de tre berømte Keplers lover. Det er derfor først og fremst Kepler som må få æren for overgangen til det heliosentriske verdensbildet - dvs. at solen var i sentrum. Det var han som brøt med den snart 2000 år gamle antagelsen om at himmellegemene, om de beveger seg, så må de bevege seg i sirkler. Det var den eneste perfekte bevegelsen. Han fastholdt likevel antagelsen om et harmonisk kosmos, selv med elliptiske planetbaner. Kepler bidro også til utviklingen av teleskoper og forklarte refleksjon av lysstråler.

Figur 2.27 Johannes Kepler (1571-1630) kom fram til at planetene går i ellipseformede baner omkring solen.

Figur 2.28 Galileo Galilei (1564-1642) regnes av mange som grunnleggeren av fysikk som moderne vitenskap.

Figur 2.29 Isaac Newton (1642-1727) anses som den største naturforskeren som har levd.

Keplers tre lover for planetenes bevegelse kan uttrykkes på følgende måte:

Planetene beveger seg i ellipsebaner med solen i den ene brennpunktet (jfr. figurene 2.30 og 2.31).

Punktet der planeten er nærmest solen kalles perihel, punktet der planeten har størst avstand til solen kalles aphel. Både jordbanen og de fleste andre planetbaner er tilnærmet sirkler.

Fordypning: Ellipser.

Figur 2.30 Konstruksjon av en ellipse ved hjelp av to tegnestifter, hyssing og penn.

Figur 2.31 Matematiske sammenhenger i ellipsen. F₁, F₂ = ellipsens brennpunkter, A = aphel, P = perihel, a = stor halvakse = middelavstand sol - planet, b = liten halvakse, c = avstand origo - brennpunkt, d₁ og d₂ er avstandene fra brennpunktene til et punkt på ellipsen. For alle punkter på ellipsen er d₁ + d₂ = 2 × a.

Linjen mellom solen og planeten beveger seg over like store flater i like lange tidsrom, se figurene 2.31 og 2.32.

Av dette følger at planeten beveger seg raskest, når avstanden til solen er minst, dvs. at planeten befinner seg perihel. Planeten har lavest fart, når avstanden til solen er størst, dvs. i aphel.

En tilsvarende endring i rotasjonsfarten opplever vi hos en skøyteløper som gjør en piruett. Han mister fart, når han åpner armene. Når armene er nærmest kroppen roterer han raskest.

Kvadratet av omløpstidene til to planeter forholder seg til hverandre som tredje potens av middelavstandene fra sola. Det betyr at forholdet mellom kvadratet til omløpstiden og tredje potens av middelavstandene er den samme for alle planeter

(2.28)

T: omløpstid til en planet rundt sola, a: middelavstand for en planet fra sola (= den store halvakse i planetens ellipsebane). Indeks 1 og 2 refererer til to ulike planeter.

Kepler formulerte sine lover for planeter i bane rundt sola, men de gjelder også f.eks. for satellittbaner rundt jorden. Ordene aphel og perihel kommer av at avstandene refererer seg til solen, helios. For satellittbaner er tilsvarende uttrykk apogeum og perigeum fordi avstandene her refereres til jorden, geos.

Figur 2.32 a) Keplers 1. lov. Planetene i ellipsebaner rundt solen. b) Keplers 2. lov Når arealene A1 = A2 er tidene t1 = t2. Den tilbakelagte strekningen per tidsenhet er størst ved perihel og minst ved aphel. Det betyr at farten er størst ved perihel P og minst i aphel A.

Figur 2.33 Keplers 2. lov som animasjon.

Animasjonen i figuren ovenfor viser en sirkulær og en elliptisk bane, begge med samme periode og fokus. Den er hentet fra dette nettstedet, og sammenligner farten i en sirkelbane med farten i en tilsvarende ellipsebane. Ellers finner du animasjon av Keplers tre lover på dette nettstedet.

Eksempel: Keplers 3. lov.

Isaac Newton (1642-1727) kjente Keplers lover. Ved å beregne de kreftene som må virke for å tilfredsstille Keplers lover, fant Newton – som ble født det året Galilei døde – gravitasjonsloven i 1692.

Newton forklarte Keplers lover ved å anta at solen virker på hver av planetene med en tiltrekningskraft. Denne kraften måtte være:

Newtons gravitasjonslov sier:

To punktformede eller kuleformede legemer med massene M og m i innbyrdes avstand r mellom massesentrene tiltrekker hverandre med kraften F som har absoluttverdien

(2.29)

der g = gravitasjonskonstanten = 6,67 × 10^-11 N × m²/kg² = 6,67 × 10^-11 m³/kg^. s²

Etter å ha brukt sin lov på planetene, gikk Newton et fundamentalt skritt videre. Han konkluderte at alle gjenstander tiltrekker hverandre med gravitasjonskrefter. Det er det vi i dag kaller den universelle gravitasjonsloven. Dette betyr at gravitasjonsloven kan brukes overalt i verdensrommet. Newton beregnet månens bane rundt jorden, og omløpstiden for Halleys komet. Newton førte Galileis ideer videre og er grunnleggeren for mye av det som det som kalles klassisk fysikk.

Gravitasjonsloven førte til den første storhetstid for fysikken. Man kunne beregne planet- og kometbaner som stemte med observasjonene. Newton forklarte ikke bare himmellegemenes bevegelse med gravitasjonsloven, men også havvannets veksling mellom flo og fjære.

Akkurat som for månen, som er jordens naturlige satellitt, kan Newtons gravitasjonslov også brukes til beregninger av baner til kunstige satellitter.

Newtons gravitasjonslov gir muligheten for beregning av tyngdekraften og tyngdeakselerasjonen i alle høyder.

(2.30)

Legg merke til at tyngdekraften avtar med kvadratet av avstandene mellom massene. Kraften virker langs den rette linjen mellom legemene. På en måte kan man si at Keplers verdensbilde ble erstattet av Newtons univers. I prinsipp er det mulig fra Newtons lover å forutsi planetenes nøyaktige posisjon flere hundre år i forveien.

Eksempel: Jordens masse.

Eksempel: Gravitasjonskraft mellom to legemer.

Planeter og satellitter går i ellipsebaner. Dette innebærer at de endrer kontinuerlig sin bevegelsesretning.

Når et legeme ikke beveger seg på en rett linje er summen av kreftene på legemet ikke null. Dette er en konsekvens av Newtons 1. lov. At summen av kreftene ikke er null betyr ifølge Newtons 2. lov at legemet er akselerert. Det betyr at satellitter og planeter må være påvirket av en kraft som akselerer dem, selv om vi forutsetter at de beveger seg med konstant banefart i en sirkelbane.

Ved sirkelbevegelse finnes det alltid en kraft som er rettet inn mot sentrum. Denne kraften kalles sentripetalkraft. Akselerasjonen som denne kraften forårsaker kalles sentripetalakselerasjonen. Den er også rettet mot sirkelens midtpunkt. Man kan vise (se fordypningsstoff i dette avsnittet) at denne akselerasjonen har størrelsen

(2.31)

der a_r = sentripetalakselerasjon, v = banefart, r = avstand mellom massesentrene, T = omløpstid

Ved planet- og satellittbevegelser er det tyngdekraften som er sentripetalkraften og tyngdeakselerasjonen som er sentripetalakselerasjonen. Dette kan vi utnytte til f.eks. å beregne banefarten v til en satellitt i avstand r fra himmellegemets sentrum. Vi kombinerer formel 2.29 med formel 2.13 og 2.31

(2.32)

(2.33)

Figur 2.34 Astronaut som satellitt. Astronaut Bruce McCandless svever uten sikring med en line noen meter fra romferga høyt over skyene på jorden. Men med hjelp av stolen han sitter i (MMU = manned maneuvering unit) kan han bevege seg i alle retninger.

Fordypning: Formel for sentripetalakselerasjon.

Figur 2.35 Hjelpefigur til utledingen av sentripetalakselerasjonen. Les teksten i fordypningsavsnittet over som forklaring.

Eksempel: Sentripetalakselerasjon.

Eksempel: Tyngdekraftens arbeid.

Eksempel: Solens masse.

Satellitter i bane rundt jorden har potensiell energi som øker med høyden over bakken og de har kinetisk energi pga. sin banefart rundt jorden. Vi har tidligere sett at farten til en satellitt er avhengig av høyden. Hvis vi er interessert i en bestemt omløpstid for satellitten må vi velge en bestemt høyde. Dette fører f.eks. til at geostasjonære satellitter må ha en høyde på ca. 36.000 km over bakken. Satellitter er bundet til jordens tyngdefeltet, akkurat som månen. For å finne en formel for satellittenes totale energi skal vi først se isolert på den potensielle energien i tyngdefeltet og så på den kinetiske energien.

Vi vet at vi må utføre et arbeid for å løfte et legeme mot tyngdekraften som øker den potensielle energien til legemet tilsvarende. (se Formel (2.23))

(2.34)

Denne formelen gir oss muligheten til å beregne arbeid for løft nær jordoverflaten. Ved store høyder kan vi imidlertid ikke bruke formelen fordi vi må ta hensyn til at tyngdeakselerasjonen avtar. Generelt gjelder følgende formel for potensiell energi i tyngdefeltet

(2.35)

E_p = potensiell energi, g = 6,67 ^. 10^-11 Nm²/kg² (Newtons gravitasjonskonstant), M = massen til himmellegemet, m = massen til objektet i tyngdefeltet, r = avstand fra objektet til himmellegemets massesentrum.

Vi ser at den potensielle energien øker med høyden, men at den alltid har en negativ verdi.

I fordypningen "Formel for potensiell energi i tygdefelt" nedenfor, viser vi utledningen. I figur 2.35 er det framstilt grafisk hvordan den potensielle energien endrer seg med avstanden fra jorden.

Figur 2.36 Potensiell energi i jordens tyngdefelt som funksjon av avstanden fra jordens midtpunkt. Avstanden er angitt i antall jordradier. Vi har valgt nullnivået for potensiell energi uendelig langt borte. Den potensielle energien nærmer seg asymptotisk null med økende avstand.

Fordypning: Formel for potensiell energi i tyngdefeltet.

Figur 2.37 Hjelpefigur til Fordypning: Formel for potensiell energi i tyngdefeltet. G₁, G₂, G₃ … er tyngdekraften i høydeintervallene D r₁, D r₂, D r₃, ….Innenfor hvert høydeintervall ansees tyngdeakselerasjonen som konstant. For å løfte et legeme fra jordoverflaten til høyden r_n må man utføre arbeidet W = G₁ ^{. D} r₁ + G₂ ^{. D} r₂ + G₃ ^{. D} r₃ +…+ G_n ^{. D} r_n.

Den kinetiske energien er generelt gitt ved E_k = ½ m ^. v² (likning 2.22). Vi skal utlede en annen formel for den kinetiske energien til satellitter som inneholder de samme størrelsene som likningen for potensiell energi.

Fordypning: Kinetisk energi for en satellitt.

Den kinetiske energien til en satellitt er gitt ved

(2.43)

E_k = satellittens kinetiske energi, g = 6,67 ^. 10^-11 Nm²/kg² (Newtons gravitasjonskonstant), M = massen til himmellegemet, m = massen satellitten, r = avstand fra satellitten til himmellegemets massesentrum.

Satellittens totale energi er gitt ved summen av den kinetiske og potensielle energien (likning 2.43 og 2.35).

(2.44)

Den totale energien til en satellitt er

(2.45)

E_t = satellittens totale energi, g = 6,67 ^. 10^-11 Nm²/kg² (Newtons gravitasjonskonstant), M = massen til himmellegemet, m = massen til satellitten, r = avstand fra satellitten til himmellegemets massesentrum.

Siden vi har valgt nullnivået for potensiell energi som uendelig langt borte vil den totale energien til et objekt som er bundet til tyngdefeltet til et himmellegeme alltid være negativ. Arbeidet vi må utføre på objektet for å fjerne det fra tyngdefeltet til et himmellegeme kalles frigjøringsarbeid. Frigjøringsarbeidet W tilsvarer energien vi må tilføre objektet for å "løfte" det til nullnivået for potensiell energi. Det betyr at summen av den totale energien E_t og det tilførte arbeidet må være større eller lik null for at objektet kan forlate tyngdefeltet.

(2.46)

Frigjøringsarbeidet har den samme tallverdien som den totale energien til objektet, men positiv verdi. Er objektet en satellitt er frigjøringsarbeidet:

(2.47)

W = frigjøringsarbeid for en satellitt, E_t = satellittens totale energi, g = 6,67 ^. 10^-11 Nm²/kg² (Newtons gravitasjonskonstant), M = massen til himmellegemet, m = massen til satellitten, r = avstand fra satellitten til himmellegemets massesentrum.

Frigjøringsarbeid på makronivået har sitt analog i ioniseringsenergien på mikronivået, dvs. i forbindelse med atomer og molekyler, se kap 3. (For atomer velger nullnivået der hvor tiltrekningskraften fra kjernen på et elektron er null. Tallverdien til energien til et elektron i bane rundt atomkjernen gir oss energien vi trenger for å fjerne det, det vil si ioniseringsenergien.)

Vil vi beregne arbeidet som må utføres på en rakett slik at den forlater tyngdefeltet kan vi ikke bruke formelen over (2.47) fordi den forutsetter at objektet har den kinetiske energien som en satellitt har. Ved oppskytning fra jordoverflaten er det kun jordrotasjonen som bidrar til den kinetiske energien. Generelt gjelder:

(2.48)

W = frigjøringsarbeid, E_t = objektets totale energi, g = 6,67 ^. 10^-11 Nm²/kg² (Newtons gravitasjonskonstant), M = massen til himmellegemet, m = massen til objektet, r = avstand fra satellitten til himmellegemets massesentrum, v = farten til objektet (ved oppskyting fra jordoverflaten: farten p.g.a. jordrotasjonen).

Den minste startfarten et objekt må ha for å forlate gravitasjonsfeltet til et himmellegeme, kalles unnslipningsfarten. Et slikt objekt må ha en totalenergi som er større eller lik null. Dette fører oss til følgende formel:

(2.49)

Når vi løser denne likningen med hensyn til v får vi

(2.50)

der v = unnslipningsfart, g = 6,67 ^. 10^-11 Nm²/kg² (Newtons gravitasjonskonstant), M = massen til himmellegemet, m = massen til objektet, r = avstand fra objektet til himmellegemets massesentrum.

Når objektet har denne minimumsfarten vil den forlate tyngdefeltet til himmellegemet, når vi ser bort fra luftmotstand.

Eksempel: Jordens unnslipningsfart.

Romsonden NEAR Shoemaker landet på asteroiden Eros den 12.2.2001. Denne asteroiden har en unnslipningsfart på ca 35 km/h. Den er så lav at en sprettende champagnekork ville gå i bane rundt astereoiden.

For en satellitt i bane kan vi utlede en annen formel for unnslipningsfart. Her tar vi utgangspunkt i likning (2.33) for satellittenes banefart.

(2.51)

Vi setter uttrykket for banefarten inn i likningen 2.50 for unnslipningsfart.

(2.52)

Skal en satellitt forlate jordens tyngdefelt må den ha en rakettmotor som gir satellitten en fart på minst Ö 2 ganger banefarten.

Eksempel: Unnslipningsfart for en satellitt.

I avsnitt 2.6.3 har vi lært at molekyler fra ulike gasser ved den samme temperaturen har den samme gjennomsnittlige kinetiske energien. Dette fører til at lette molekyler beveger seg raskere enn tyngre. For planeter med liten masse kan lette molekyler ha en fart som er større enn unnslipningsfarten. Slike grunnstoffer vil vi derfor ikke finne i atmosfæren til denne planeten, (hvis de ikke dannes eller tilføres kontinuerlig). I en gass finnes det alltid molekyler som har høyere fart enn gjennomsnittsfarten. Er denne farten høyere enn unnslipningsfarten vil disse molekyler forlate planetens tyngdefelt. Unnslipningsfarten kan derfor ha betydning for atmosfæresammensetningen til en planet.

Mens frigjøringsarbeid er avhengig av massen til objektet som skal fraktes ut av tyngdefeltet er unnslipningsfarten uavhengig av massen.

En person står i en heis - som er i ro - på en badevekt som viser 80 kg. Badevekten er egentlig en kraftmåler. Men kraft og masse på jordoverflaten er proporsjonale. Tyngdeakselerasjonen er proporsjonalitetsfaktoren. Personen utøver en kraft på F = 80 kg × 9,81 m/s² = 780 N som er tyngdekraften. Paradoksalt nok er det ikke tyngdekraften som gjør at vi føler oss tunge. Det er normalkraften som virker på oss. Settes heisen i bevegelse nedover føler vi oss lettere, selv om tyngdekraften er uforandret. Men normalkraften fra underlaget er mindre. Kappes heisevaieren faller vi like fort som underlaget. Vi er i fritt fall. Badevekten vil ikke vise noe utslag fordi vi ikke utøver noen kraft på den. Dermed har badevekten heller ingen motkraft på oss. Da er det bare én kraft som virker på oss, og det er tyngdekraften. Når vi er i fritt fall er vi i vektløs tilstand. Generelt kan vi si at ved vektløshet er det kun tyngdekraften som virker. Det er vanskelig å realisere at ingen andre krefter tilstede. Forskjellige krefter kan gi små forstyrrelser. Tilstanden med tilnærmet vektløshet kalles mikrogravitasjon. Selve ordet skulle tilsi at kreftene gir akselerasjoner i størrelsesorden 10^-6 g , men uttrykket brukes også når forstyrrelsene fører til akselerasjoner med opptil 10^-3 g (altså egentlig "milligravitasjon").

Figur 2.38 Illustrasjon fra Jules Vernes roman Fra jorden til månen. Passasjerene i romfartøyet opplever vektløshet for første gang, noe som var ren science fiction da romanen ble skrevet i 1865. Kilde: NASA.

Tabell 2.1 g - forstyrrelser i en romferge

Man kan bruke falltårn hvor luften i en sylinder pumpes ut for å fjerne luftmotstand. Eksperimentkapselen er i fritt fall i ca 4,5 s, når fallhøyden i tårnet er 100 m. Etter ombygging i 2004 har man fordoblet falltiden i falltårnet ved Universitetet i Bremen uten å endre høyden til tårnet. Prinsippet er enkelt. Istedenfor å slippe eksperimentkapselen fra toppen starter man ved bunnen av tårnet hvor en katapult gir kapselen starthastigheten som trenges for å nå toppen. Etter at kapselen har fått starfarten er det kun tyngdekraften som virker på den til den lander igjen. Den er altså i "fritt fall" både på vei opp og på vei ned.

En annen måte å oppnå tilnærmet vektløshet på er såkalt parabelflyvning. Et fly akselererer bratt oppover før motorene slås av. Flyet følger en parabelbane. Så lenge motorene er slått av, er det kun tyngdekraften som virker på flyet, når vi ser bort fra forstyrrelsene fra luftmotstanden. Perioden med tilnærmet vektløshet varer i ca 20 -25 sekunder og opptil ett minutt hvor eksperimentene kan utføres. Så slås motoren på igjen for å fange opp fallet og begynne på en ny parabel. Ofte flys det omtrent 25 parabler på en flytur.

I raketter oppnåes det vektløshet, når motoren slutter å brenne. Også raketten beskriver en parabelbane. Varigheten for perioden med fritt fall er avhengig av hvor høyt raketten skytes opp. Her har man opptil ca 15 - 20 minutter å gjennomføre mikrogravitasjonseksperimenter.

Satellitter og dermed også romstasjoner og romfartøy i sirkelbane rundt jorda kun påvirket av tyngdekraften. De er i fritt fall. Det betyr at det hersker konstant vektløshet.

Eksempel: Tyngdekraft ved vektløshet.

Figur 2.39 Vektløshet under parabelflyvning. Foto: NASA

Figur 2.40 Vektløshet i Spacelab. Foto: NASA.

Fordypning: Fysiske prosesser som forutsetter gravitasjonskraft.

Skalare størrelse er fullstendig beskrevet med måltall og måleenhet, vektorer trenger i tillegg angivelsen av retningen.

Gjennomsnittsfart er forflytning per tidsenhet: , ved momentanfart går D t ® 0

Farten er gitt ved stigningen i s-t-grafen.

Gjennomsnittsakselerasjon er fartsendring per tidsenhet. , ved momentanakselerasjon går D t ® 0

Akselerasjonen er gitt ved stigningen i v-t-grafen.

Newtons 1. lov: Når summen av kreftene på et legeme er null er legemet i ro eller beveger seg rettlinjet med konstant fart:

Newtons 2. lov: Når summen av kreftene ikke er null er legemet akselerert:

Newtons 3. lov: Når et legeme A virker med en kraft på legeme B, så virker legeme B tilbake på legeme A med en like stor motsatt rettet kraft:

Impulsloven:

Bevegelsesmengden er produktet av massen og farten: p = m ^. v

Massen er avhengig av mengden materie som er uavhengig av oppholdsstedet. Tyngde er kraft som bestemmes av tyngdeakselerasjonen på stedet og massen til legemet. Tyngden er avhengig fra stedet objektet befinner seg på.

Tyngdekraft: G = m ^. g

Ved vektløshet er det kun tyngdekraften som virker. Da befinner legemet seg i fritt fall. Ved vektløshet finnes det verken oppdrift, sedimentasjon eller konveksjon. Mikrogravitasjon er en tilstand av tilnærmet vektløshet.

Arbeid er produktet av kraften i forflytningsretningen og forflytningen: W = F_s ^. s = F ^. s ^. cos a

Arbeid mot tyngdekraften: W = G ^. h = m ^. g ^. h

Effekt er arbeid per tidsenhet:

Kinetisk energi og potensiell energi er formene for mekanisk energi. Også andre energiformer kan føres tilbake til disse to formene for energi.

Kinetisk energi: E_k = ½ m ^. v²

Gjennomsnittlig kinetisk energi i gassmolekyler:

Potensiell energi: E_p = m ^. g ^. h

Energioverføring fra et legeme til et annet kan skje som arbeid eller varme. Overføring som varme kan skje ved ledning eller stråling.

Omregning mellom Celsius-temperatur og absolutt temperatur: T = 1 K/ºC ^. t + 273,15 K

Den 1. energiloven: Energi kan verken oppstå eller forsvinne, den kan bare gå over i andre former.

Den 2. energiloven: Ved alle energioverganger i naturen avtar energikvaliteten.

Keplers 1. lov: Planetene går i ellipsebaner med solen i det ene brennpunktet.

Keplers 2. lov: Linjen mellom solen og planeten beveger seg over like store flater i like lange tidsrom.

Keplers 3. lov: Kvadratet av omløpstidene til to planeter forholder seg til hverandre som tredje potens av middelavstandene fra sola:

Ved sirkelbevegelse virker det en kraft som er rettet inn mot sirkelmidten. Denne kraften kalles sentripetalkraft. Akselerasjonen som den forårsaker er sentripetalakselerasjonen.

Sentripetalakselerasjon:

To punktformede eller kuleformede legemer med massene M og m i innbyrdes avstand r mellom massesentrene tiltrekker hverandre med kraften F som har absoluttverdien :

Nullnivået for potensiell energi velger vi som uendelig langt borte. Satellittenes totale energi er summen av potensiell energi og kinetisk energi. Den kinetiske energien ganget med -2 gir den potensielle energien. Den kinetiske energien ganget med -1 gir den totale energien. Et objekt som har negativ totalenergi vil ikke kunne forlate jordens tyngdefelt.

Satellittenes potensielle energi:

Satellittenes kinetiske energi:

Satellittenes totale energi:

Frigjøringsarbeidet er arbeidet man må utføre på et legeme for å fjerne det fra tyngdefeltet til et himmellegeme.

Frigjøringsarbeid for en satellitt:

Frigjøringsarbeid generelt:

Unnslipningsfart er farten et legeme minst må ha for å unnslippe tyngdefeltet til et himmellegeme.

Unnslipningsfart for et objekt på overflaten til et himmellegeme:

Unnslipningsfart for en satellitt:

Svartabell til kontrollspørsmål om Mekanikk.

Fasit til kontrollspørsmål om Mekanikk.

Tabell til arbeidsoppgaver om leketøybil.

34. En sleggekaster roterer et par ganger før han slipper slegga. Hvor vil han slippe slegga for å få ønsket kasteretning? Lag en skisse.
35. Hvilken tyngdekraft virker på en satellitt på 1000 kg som går i geostasjonær bane?
36. Hvilken omløpstid har en polarbanesatellitt som går i 800 km høyde?
37. Framtidige marsboere vil ikke gi avkall på satellitt-tv. I hvilken høyde vil "marsstasjonære" satellitter gå? Massen til mars er 6,4 × 10²³ kg og radien ved ekvator er 3400 km. Rotasjonstiden er 24,6 timer.
38. Du ønsker å skyte en rakett som skal forlate jordens gravitasjonsfelt. a) Hvor på jordoverflaten vil du skyte opp raketten? Hvilken retning vil være best, når utskytingsfarten skal være så lav som mulig? b) Hvor stor er den minste utskytingsfarten denne raketten kan ha for å forlate jordens tyngdefelt? Jordens radius er 6378 km og jordens rotasjonstid 23 h 56 min. Vi tar ikke hensyn til luftmotstand.
39. Månen er en naturlig satellitt rundt jorden. Beregn månens potensielle, kinetiske og totale energi i bane rundt jorden.
40. En satellitt med masse 400 kg går i bane rundt jorden i 300 km høyde. a) Hvilken banefart har satellitten? b) Hvilken omløpstid har satellitten? c) Hvor mye energi måtte brukes for å få satellitten i bane? d) Hvor mye fart måtte satellitten få for å kunne forlate jorden tyngdefelt fra sin bane?
41. En satellitt skal ha en omløpstid på 1 h 45 minutter. Massen av satellitten er 600 kg. a) Hvor høyt over overflaten kretser satellitten? b) Finn ut farten til satellitten. c) Regn ut den kinetiske energien til satellitten i banen. d) Regn ut den potensielle energien i banen. e) Regn ut totalenergien til satellitten i denne banen f) Hvilken fart måtte denne satellitten ha for å kunne

42. Mars har en masse på 6,4 × 1023 kg og en ekvatorradius på 3400 km. Hvor stor er unnslipningsfarten til Mars?

43. Vektløshet byr på en del praktiske problemer for astronauter. Kunne man ikke løse de fleste ved å utstyre astronauten med sko som har borrelås såle som fester seg med "passe" kraft til et borrelåsdekket gulv?
44. Astronauter blir forberedt på vektløshet ved dykking. Hvilke likheter og forskjeller er det mellom dykking og vektløs tilstand?
45. Hvilken betydning kan unnslipningsfarten for en planet ha for atmosfæresammensetningen på denne planeten?

• Hensikt: Bestem tyngdeakselerasjonen med hjelp av et planpendel. Vurder feilkildene.
• Utstyr: et lodd, hyssing, stativ, klokke, metermål
• Vi skal ikke utlede formelen. Når amplituden er liten og massen til hyssingen er så liten at vi kan se bort fra den gjelder følgende formel for et planpendel:

der l = lengden på pendelen, T = svingetiden, g = tyngdeakselerasjonen

Massen til astronauter i vektløshet kan ikke bestemmes med en badevekt. Men man kan bruke svingninger i elastiske fjærer.

På jorden kan vi bruke elastiske fjær til å måle krefter med:

Eksempler på problemstillinger som du kan undersøke nærmere er: